{"id":35,"date":"2010-01-18T13:02:59","date_gmt":"2010-01-18T18:02:59","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.vassar.edu\/magnes\/?page_id=35"},"modified":"2012-01-16T11:59:49","modified_gmt":"2012-01-16T16:59:49","slug":"kyle-epstein","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/applied-quantum-mechanics-and-optics-phys-375\/kyle-epstein\/","title":{"rendered":"Diffraction Modeling"},"content":{"rendered":"<p>This is the mathematica file for the first mathematica <a title=\"First Mathematica Work Sheet\" href=\"https:\/\/vspace.vassar.edu\/kyepstein\/QM%20wells%20Epstein.nb\" target=\"_blank\">worksheet.<\/a><\/p>\n<p>This is the mathematica file for a <a title=\"Delta Potential\" href=\"https:\/\/vspace.vassar.edu\/kyepstein\/Qm%20Wells%20Delta%20Potential%20Epstein.nb\" target=\"_blank\">delta function potential.<\/a> Edit 2\/15: Delta Function File has been updated.<\/p>\n<p>Project Proposal<\/p>\n<p>My proposal is to work off the existing research that was performed by Jenny Magnes, Kathleen M. Raley-Susman, Alicia Sampson, Margo Kinneberg, Rahul Khakurel, and Rebecca Eells to model an orientation for an organism, specifically the C. elegans or nemotodes. The existing research has shown these organisms in certain positions, such as almost overlapping or orthogonal, so by using their existing research into the ways light diffracts off of these organisms, I can model a different shape or size using Matlab, which would permit me to add to this body of research.\u00a0 This project will specifically model physical size of the organisms using diffraction.<\/p>\n<p>Quantum Cryptography Assignment<\/p>\n<p>This is an encrypted message using <a href=\"https:\/\/vspace.vassar.edu\/kyepstein\/Epstein%20Encryption.xls\">quantum cryptography<\/a>.\u00a0 On the &#8220;key&#8221; page is a demo of what happens when there is an eavesdropper.<\/p>\n<p>Wave Interference Assignment<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/vspace.vassar.edu\/kyepstein\/Epstein%20WaveAnimation_-_Interference_class.nb\">This is the mathematica file for the wave interference assignment<\/a><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/vspace.vassar.edu\/kyepstein\/Fourier%20Transforms.nb\">This is the mathematica file for the Fourier Transform assignment.<\/a><\/p>\n<p>Diffraction Models<\/p>\n<p>This project involves taking the Fourier Transform of a mathematical function that represents a small, thin organism(s) and determining what diffraction pattern one would see, should a light source, such as a laser, pass around the organism(s).\u00a0 This modeling builds off of the research performed by Jenny Magnes, Kathleen M. Raley-Susman, Alicia Sampson, Margo Kinneberg, Rahul Khakurel, Rebecca Eells in 2009.\u00a0 Magnes et al. worked with C. elegans, which have a thickness similar to a single hair, and passed laser light around the C. elegans, which produced diffraction patterns.\u00a0 Due to the size of these organisms, it is impossible to see with the naked eye the number or orientation of the C. elegans.<\/p>\n<p>Our first question is &#8220;what is diffraction?&#8221;\u00a0 When light interacts with an obstacle, light will appear to bend around it and will produce a pattern.\u00a0 When light passes through a small slit whose size is on the same order of magnitude as the wavelength of the light, the effects of diffraction are more pronounced.\u00a0 For this project, light will be passing around C. elegans and it is necessary to determine how the C. elegans are aligned when the light interacted with them.\u00a0 Mathematically, it is possible to determine what a diffraction pattern would look like when light interacts with the C. elegans.\u00a0 To do this, we will use Fourier Transforms.<\/p>\n<p>Fourier Transforms come from the idea that any given function can be created as a sum of sines and cosines.\u00a0 The basic Fourier Transform equation is<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignleft\" src=\"http:\/\/upload.wikimedia.org\/math\/f\/c\/7\/fc74da34236f93b1cf1bbecd9394597c.png\" alt=\"\" width=\"229\" height=\"39\" \/><\/p>\n<p>where f(<strong>\u03be<\/strong>) is our normal function and f(x) is a sum of sines and cosines.<\/p>\n<p>Why do we use Fourier Transforms?\u00a0 Fourier Transforms are mathematically equal, to a certain approximation, to<strong> <\/strong>Fraunhofer Diffraction (Rodenburg).\u00a0 Fraunhofer Diffraction is also known as far-field diffraction.\u00a0 Fraunhofer diffraction occurs when light passes through a slit and causes only the size of an observed aperture image to change due to the distant location of observation, and the planar nature of outgoing diffracted waves passing through the aperture.\u00a0 The equations for Fraunhofer diffraction can be applied when a^2\/L\u03bb<strong> <\/strong>much smaller than 1, where a is\u00a0 the size of the aperture, L is the length from the aperture to the screen, and \u03bb is the wavelength of the light source.<strong> <\/strong><\/p>\n<p>In order to use Fourier Transforms, we first need a function to use.\u00a0 In this first example, a function that defines a rectangle was used.<\/p>\n<p><strong><br \/>\n<\/strong><\/p>\n<p>By taking the Fourier Transform of a shape\u00a0 like this rectangle<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-536\" src=\"http:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Diffraction-Structure-rectangle.jpg\" alt=\"Diffraction Structure rectangle\" width=\"360\" height=\"355\" srcset=\"https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Diffraction-Structure-rectangle.jpg 360w, https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Diffraction-Structure-rectangle-300x295.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 360px) 100vw, 360px\" \/> we get this<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-538\" src=\"http:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Rectangle-Fourier.gif\" alt=\"Rectangle Fourier\" width=\"371\" height=\"362\" srcset=\"https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Rectangle-Fourier.gif 371w, https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Rectangle-Fourier-300x292.gif 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 371px) 100vw, 371px\" \/><\/p>\n<p>If the pattern of light seen by the researchers looks similar to the Fourier Transform of the rectangle, then it is likely that the C. elegans were positioned such that there was a single C. elegan who is extended.\u00a0 The size and number of rectangles can be changed in the modeling program, which permits researchers to adjust the equations until a diffraction pattern is created that looks similar to experimental data.<\/p>\n<p>Magnes et al.&#8217;s research was produced using MatLab, so this project worked to create various shapes in mathematica to further future research.\u00a0 In my modeling efforts I created the following shapes: A single rectangle, which you can see above.\u00a0<a href=\"https:\/\/vspace.vassar.edu\/kyepstein\/Diffraction%20Structure%20rectangle.nb\"> Here is the mathematica file for it.<\/a><\/p>\n<p>A pair of rectangles:\u00a0<a href=\"https:\/\/vspace.vassar.edu\/kyepstein\/Diffraction%20Structure%202%20rectangles.nb\"> The rectangles were created using this mathematica code.<\/a><\/p>\n<p>This graph is of the two rectangles<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-540\" src=\"http:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Diffraction-Structure-2-rectangles.jpg\" alt=\"Diffraction Structure 2 rectangles\" width=\"360\" height=\"355\" srcset=\"https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Diffraction-Structure-2-rectangles.jpg 360w, https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Diffraction-Structure-2-rectangles-300x295.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 360px) 100vw, 360px\" \/><\/p>\n<p>This is the Fourier Transform of those two rectangles <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-539\" src=\"http:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Rectangle-Fourier1.gif\" alt=\"2 Rectangle Fourier \" width=\"364\" height=\"314\" srcset=\"https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Rectangle-Fourier1.gif 364w, https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Rectangle-Fourier1-300x258.gif 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 364px) 100vw, 364px\" \/><\/p>\n<p>I was also able to create a Cross, which was made of two intersecting rectangles.\u00a0<a href=\"https:\/\/vspace.vassar.edu\/kyepstein\/Diffraction%20Structure%20cross.nb\"> This is the mathematica file for the Cross.<\/a><\/p>\n<p>This is the graph of the Cross:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-542\" src=\"http:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Diffraction-Structure-cross.jpg\" alt=\"Diffraction Structure cross\" width=\"360\" height=\"355\" srcset=\"https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Diffraction-Structure-cross.jpg 360w, https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Diffraction-Structure-cross-300x295.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 360px) 100vw, 360px\" \/><\/p>\n<p>This is the Fourier Transform of that Cross:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-541\" src=\"http:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Rectangle-Fourier2.gif\" alt=\"Cross Fourier\" width=\"347\" height=\"311\" srcset=\"https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Rectangle-Fourier2.gif 347w, https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Rectangle-Fourier2-300x268.gif 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 347px) 100vw, 347px\" \/><\/p>\n<p>I also created shapes that were asymmetric.<a href=\"http:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/applied-quantum-mechanics-and-optics-phys-375\/kyle-epstein\/diffraction-structure-2-off-center\/\" rel=\"attachment wp-att-774\">This is a .pdf with two rectangles off center from each other.<\/a><\/p>\n<p>While this is the transform<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full  wp-image-776\" src=\"http:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/2-off-center.JPG\" alt=\"2 off center\" width=\"371\" height=\"366\" srcset=\"https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/2-off-center.JPG 371w, https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/2-off-center-300x295.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 371px) 100vw, 371px\" \/> <a href=\"https:\/\/vspace.vassar.edu\/kyepstein\/Diffraction%20Structure%202%20off%20center.nb\">and this is the mathematica file for it.<\/a><\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/applied-quantum-mechanics-and-optics-phys-375\/kyle-epstein\/diffraction-structure-tetris\/\" rel=\"attachment wp-att-775\">Here we have 4 rectangles.<\/a><\/p>\n<p>And this is their Transform<a href=\"http:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/applied-quantum-mechanics-and-optics-phys-375\/kyle-epstein\/tetris-mathematica\/\" rel=\"attachment wp-att-777\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-777\" src=\"http:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Tetris-Mathematica.JPG\" alt=\"Tetris Mathematica\" width=\"377\" height=\"380\" srcset=\"https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Tetris-Mathematica.JPG 377w, https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Tetris-Mathematica-150x150.jpg 150w, https:\/\/pages.vassar.edu\/magnes\/files\/2010\/01\/Tetris-Mathematica-297x300.jpg 297w\" sizes=\"auto, (max-width: 377px) 100vw, 377px\" \/><\/a><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/vspace.vassar.edu\/kyepstein\/Diffraction%20Structure%20Tetris.nb\">And their mathematica file.<\/a><\/p>\n<p>The successful shapes were created using sums of Unit Step functions.\u00a0 These functions are 0 when the argument is less than 0, and 1 when the argument is greater than or equal to zero.<\/p>\n<p>Problems arose in my attempts to create shapes that were angled, or non-rectangular.\u00a0 Shapes that were angled were difficult to create, and anything that resembled them created Fourier Transforms that were imaginary, making it impossible to graph.\u00a0 However, despite this problem, the results obtained permit research into microscopic organisms using diffraction to now use mathematica to attempt analysis.\u00a0 The plots of these shapes have whitelines throughout them.\u00a0 These lines appear to be a product of mathematica and do not impact the project.<\/p>\n<p>As a result of this research, I have realized the complexity and difficulties that are innate to understanding microscopic structures.\u00a0 We cannot see them with our naked eyes, which means we have to rely on elaborate ways &#8220;seeing&#8221; these structures.\u00a0 This procedures require a lot of fine tuning and models, and we have to take each structure on a case by case basis, which is astounding.<\/p>\n<p>Citation<\/p>\n<p>The Fourier Transform.\u00a0 John Rodenburg.\u00a0 http:\/\/www.rodenburg.org\/theory\/y1300.html<\/p>\n<div style=\"width: 1px;height: 1px;overflow: hidden\">\\&#92;&#40;&#92;&#42;<br \/>\n&#71;&#114;&#97;&#112;&#104;&#105;&#99;&#115;&#66;&#111;&#120;&#91;&#71;&#114;&#97;&#112;&#104;&#105;&#99;&#115;&#67;&#111;&#109;&#112;&#108;&#101;&#120;&#66;&#111;&#120;&#91;&#67;&#111;&#109;&#112;&#114;&#101;&#115;&#115;&#101;&#100;&#68;&#97;&#116;&#97;&#91;&#34;<br 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